ปัญหาผกผันและการประยุกต์ในด้านการเงิน

Abstract

ปัญหาผกผันเป็นการอธิบายความสัมพันธ์จากผลลัพธ์ไปสู่เหตุของระบบซึ่งตรงกันข้ามกับปัญหาตรง โดยทั่วไปการหาผลเฉลยของปัญหาผกผันด้วยวิธีเชิงตัวเลขจะทำให้เกิดผลเฉลยที่ไร้เสถียรภาพ จึงไม่จัดเป็นปัญหาที่สร้างขึ้นอย่างดีตามหลักเกณฑ์ของ Hadamard การผ่อนปรนกระบวนการหาผลเฉลยด้วยทฤษฎีเรกูลาร์ไรเซชันจะทำให้ผลเฉลยมีเสถียรภาพ ในบทความประมวลความรู้เชิงวิเคราะห์ฉบับนี้ได้กล่าวถึงการวิเคราะห์เชิงคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหาผกผัน ตลอดจนประมวลทฤษฎีเรกูลาร์ไรเซชันที่สำคัญท้ายสุดได้ยกตัวอย่างการหาความผันผวนเฉพาะถิ่นในตราสารอนุพันธ์ทางการเงิน ซึ่งเป็นการแก้ปัญหาผกผันในคณิตศาสตร์ประยุกต์ด้านการเงินที่สำคัญปัญหาหนึ่ง

Inverse problems could be described as the relationship between system inputs and outputs. In general, a solution obtained from numerical solving for an inverse problem is said to be unstable. So the inverse problems can be ill-posed problems according to the Hadamand’s criteria. By relaxing the process of solving the problem with the corresponding regularization theorem, the stability of the solution will be obtained. In this review article, the mathematical analysis for solving inverse problems and a comprehensive account of regularization theorem are presented. Finally, we show some examples for solving local volatility in financial derivatives which is deemed an important aspect of inverse problems concerning the field of applied mathematics for finance.